2017年05月08日

種々の慣性モーメントの導出・計算(棒、長方形、円板、円輪、中空円板、球、球殻、直方体、円柱、中空円柱、半球、楕円形薄板、楕円柱、楕円体、円錐、トーラス、2質点)

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種々の慣性モーメントの導出・計算(棒、長方形、円板、円輪、中空円板、球、球殻、直方体、円柱、中空円柱、半球、楕円形薄板、楕円柱、楕円体、円錐、トーラス、2質点)

様々な形状・回転軸の物体の回転の慣性モーメントの導出を行います。
(ただし、質量密度は一定とします)

この記事は物理学の人には有名かも知れないサイトの
色々な物体の慣性モーメント1 [物理のかぎしっぽ]
に触発され、計算しまくったものです。

ですので、上記のページに載っている順に計算手順を載せます。

その他のページに載っているものも導出しています。
「物理のかぎしっぽ」に記載されている慣性モーメントには「かぎしっぽ」にちなんで、かぎ括弧「 」でくくっています。

英語版Wikipedia(List of moments of inertia - Wikipedia)も追加しました。


目次



慣性モーメントの定義
慣性モーメント(Inertia of moment)は、物体の形状$V$と質量密度$\rho\left(x,y,z\right)$と回転軸を定めたとき、 \[ I=\int_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\rho\left(x,y,z\right)\ell^2 \] で計算されます。ここで、$\ell$は点$\left(x,y,z\right)$と回転軸との距離です。

質量密度を一定とすると、$\rho$は定数となります。

物理のかぎしっぽさんでは定数としています。

また、物体の質量(Mass)は \[ M=\int_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\rho\left(x,y,z\right) \] です。


余談:慣性モーメントは回しにくさの量であり、回転軸に関するモーメントが関係しています。
また、重心もモーメントが関係する概念で、重心を通り、水平な平面と垂直な平面の両側からの部分の重力によるモーメントが釣り合います。


計算中に使う公式
本編の前に、導出の中でよく使う公式をここに書きます。

・$\sin^2\theta$ \begin{eqnarray*} \cos2\theta&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\ &=&\cos^2\theta-\sin^2\theta+\sin^2\theta-\sin^2\theta\\ &=&1-2\sin^2\theta\\ \sin^2\theta&=&\frac{1-\cos2\theta}{2} \end{eqnarray*}
・$\cos^2\theta$ \begin{eqnarray*} \cos2\theta&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\ &=&\cos^2\theta-\sin^2\theta+\cos^2\theta-\cos^2\theta\\ &=&2\cos^2\theta-1\\ \cos^2\theta&=&\frac{1+\cos2\theta}{2} \end{eqnarray*}
・2次元直交座標から2次元極座標への座標変換のヤコビアン(Jacobian、関数行列式)
\begin{eqnarray*} &&\begin{cases} x=r\cos\theta&\\ y=r\sin\theta& \end{cases}\\ J&=&\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(r,\theta\right)}\\ &=&\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\theta} \end{vmatrix}\\ &=&\begin{vmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}\\ &=&r \end{eqnarray*}
・$\displaystyle\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\sin^2\theta$
\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\sin^2\theta&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\frac{1-\cos2\theta}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\left[\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right]_0^{2\pi}\\ &=&\frac{1}{2}2\pi\\ &=&\pi \end{eqnarray*}
・$\displaystyle\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\cos^2\theta$
\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\cos^2\theta&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\frac{1+\cos2\theta}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta\right]_0^{2\pi}\\ &=&\frac{1}{2}2\pi\\ &=&\pi \end{eqnarray*}
・3次元直交座標から3次元極座標への座標変換のヤコビアン(Jacobian、関数行列式)
\begin{eqnarray*} &&\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi&\\ y=r\sin\theta\sin\phi&\\ z=r\cos\theta& \end{cases}\\ J&=&\frac{\partial\left(x,y,z\right)}{\partial\left(r,\theta,\phi\right)}\\ &=&\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\theta} & \frac{\partial z}{\partial\theta}\\ \frac{\partial x}{\partial\phi} & \frac{\partial y}{\partial\phi} & \frac{\partial z}{\partial\phi}\\ \end{vmatrix}\\ &=&\begin{vmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\ r\cos\theta\cos\phi & r\cos\theta\sin\phi & -r\sin\theta\\ -r\sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi & 0 \end{vmatrix}\\ &=&r^2\sin\theta\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2\sin^3\theta\sin^2\phi+r^2\sin^3\theta\cos^2\phi+r^2\sin\theta\cos^2\theta\sin^2\phi\\ &=&r^2\sin\theta \end{eqnarray*}
・$\sin^3\theta$
\begin{eqnarray*} \sin3\theta&=&\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta\\ &=&\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\\ &=&3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ &=&3\sin\theta\left(1-\sin^2\theta\right)-\sin^3\theta\\ &=&3\sin\theta-4\sin^3\theta\\ \sin^3\theta&=&\frac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4} \end{eqnarray*}
・$\displaystyle\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin^3\theta$
\begin{eqnarray*} \int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin^3\theta&=&\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\frac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4}\\ &=&\frac{1}{4}\left[-3\cos\theta+\frac{1}{3}\cos3\theta\right]_0^\pi\\ &=&\frac{1}{4}\left\{-3\left(\cos\pi-\cos0\right)+\frac{1}{3}\left(\cos3\pi-\cos0\right)\right\}\\ &=&\frac{1}{4}\left(3\cdotp2-\frac{1}{3}\cdotp2\right)\\ &=&\frac{1}{4}\frac{16}{3}\\ &=&\frac{4}{3} \end{eqnarray*}
・楕円を表すための、2次元直交座標から2次元極座標への座標変換のヤコビアン(Jacobian、関数行列式) \begin{eqnarray*} &&\begin{cases} x=ar\cos\theta&\\ y=br\sin\theta& \end{cases}\\ J&=&\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(r,\theta\right)}\\ &=&\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\theta} \end{vmatrix}\\ &=&\begin{vmatrix} a\cos\theta & b\sin\theta\\ -ar\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix}\\ &=&abr \end{eqnarray*}
・楕円を表すための、3次元直交座標から3次元極座標への座標変換のヤコビアン(Jacobian、関数行列式) \begin{eqnarray*} &&\begin{cases} x=ar\sin\theta\cos\phi&\\ y=br\sin\theta\sin\phi&\\ z=cr\cos\theta& \end{cases}\\ J&=&\frac{\partial\left(x,y,z\right)}{\partial\left(r,\theta,\phi\right)}\\ &=&\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\theta} & \frac{\partial z}{\partial\theta}\\ \frac{\partial x}{\partial\phi} & \frac{\partial y}{\partial\phi} & \frac{\partial z}{\partial\phi}\\ \end{vmatrix}\\ &=&\begin{vmatrix} a\sin\theta\cos\phi & b\sin\theta\sin\phi & c\cos\theta\\ ar\cos\theta\cos\phi & br\cos\theta\sin\phi & -cr\sin\theta\\ -ar\sin\theta\sin\phi & br\sin\theta\cos\phi & 0 \end{vmatrix}\\ &=&abcr^2\sin\theta\cos^2\theta\cos^2\phi+abcr^2\sin^3\theta\sin^2\phi+abcr^2\sin^3\theta\cos^2\phi+abcr^2\sin\theta\cos^2\theta\sin^2\phi\\ &=&abcr^2\sin\theta \end{eqnarray*}



「長さ$2a$の細い棒」
細い棒の断面積を$S$とすると、質量は$M=2aS\rho$です。
細いため$r\gg \sqrt{S}$なので、$\ell=r$となります。 \begin{eqnarray*} I&=&\int_{断面}\mathrm{d}S\int_{-a}^a\mathrm{d}r\rho r^2\\ &=&S\rho\frac{2a^3}{3}\\ &=&2aS\rho\cdotp\frac{a^2}{3}\\ &=&\frac{1}{3}Ma^2 \end{eqnarray*}

長さ$2a$の細い棒  回転軸:棒の端点を通り、棒に垂直
細い棒の断面積を$S$とすると、質量は$M=2aS\rho$です。
細いため$r\gg \sqrt{S}$なので、$\ell=r$となります。\begin{eqnarray*} I&=&\int_{断面}\mathrm{d}S\int_{0}^{2a}\mathrm{d}r\rho r^2\\ &=&S\rho\frac{8a^3}{3}\\ &=&2aS\rho\cdotp\frac{4a^2}{3}\\ &=&\frac{4}{3}Ma^2 \end{eqnarray*}

「辺の長さが$2a\times 2b$の長方形」
薄い板の厚さを$h$とすると、質量は$M=4abh\rho$です。
$I_x$を求めるとき、$\ell$は$\sqrt{y^2+z^2}$のはずですが、薄いため$y\gg z$なので、$\ell=y$となります。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{厚さ方向}\mathrm{d}z\int_{-b}^b\mathrm{d}y\int_{-a}^a\mathrm{d}x\rho y^2\\ &=&2ah\rho\int_{-b}^b\mathrm{d}y y^2\\ &=&2ah\rho\frac{2b^3}{3}\\ &=&2ah\rho\frac{2b^3}{3}\\ &=&\frac{1}{3}Mb^2 \end{eqnarray*}
同様に、$I_y=\displaystyle\frac{1}{3}Ma^2$です。

\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_{厚さ方向}\mathrm{d}z\int_{-b}^b\mathrm{d}y\int_{-a}^a\mathrm{d}x\rho\left(x^2+y^2\right)\\ &=&h\rho\int_{-b}^b\mathrm{d}y\left(\frac{2a^3}{3}+2ay^2\right)\\ &=&h\rho\left(\frac{2a^3}{3}2b+2a\frac{2b^3}{3}\right)\\ &=&\frac{4abh\rho}{3}\left(a^2+b^2\right)\\ &=&\frac{1}{3}M\left(a^2+b^2\right) \end{eqnarray*}

「半径$a$の薄円板」
円板の厚さ(薄さ)を$h$とすると、質量は$M=a^2h\pi\rho$です。
$x$軸の正の向きを$\theta=0$として、2次元極座標を使います。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{厚さ方向}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r\rho\left(r\sin\theta\right)^2\\ &=&h\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\sin^2\theta\int_0^a\mathrm{d}rr^3\\ &=&h\rho\pi\frac{a^4}{4}\\ &=&\frac{a^4h\pi\rho}{4}\\ &=&\frac{1}{4}Ma^2 \end{eqnarray*}
$xyz$座標の原点が重心を通っているとのことなので、円板が重心を中心として回転対称性を持っています。
そのため、回転軸を$y$軸にして$I_y$を求めても等しい結果となります。

\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_{厚さ方向}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r\rho r^2\\ &=&2h\pi\rho\int_0^a\mathrm{d}r r^3\\ &=&2h\pi\rho\frac{a^4}{4}\\ &=&a^2h\pi\rho\frac{a^2}{2}\\ &=&\frac{1}{2}Ma^2 \end{eqnarray*}

「半径$a$の細い円輪」
円輪(輪っか)の断面積を$S$とすると、質量は$M=2aS\pi\rho$です。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{断面}\mathrm{d}S\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta a\rho\left(a\sin\theta\right)^2\\ &=&a^3S\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\sin^2\theta\\ &=&a^3S\rho\pi\\ &=&2aS\pi\rho\frac{a^2}{2}\\ &=&\frac{1}{2}Ma^2 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_{断面}\mathrm{d}S\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta a\rho a^2\\ &=&a^3S\rho2\pi\\ &=&2aS\pi\rho a^2\\ &=&Ma^2 \end{eqnarray*}

「外半径$a$、内半径$b$の中空円板」
中空円板と称されていますが、CDみたいなやつです。
円板の厚さ(薄さ)を$h$とすると、質量は$M=\left(a^2-b^2\right)h\pi\rho$です。
この場合も、回転軸からの距離を計算するときに円板の薄さが無視されて、$\ell=y$となります。
\begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{厚さ方向}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_b^a\mathrm{d}r r\rho\left(r\sin\theta\right)^2\\ &=&h\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\sin^2\theta\int_b^a\mathrm{d}r r^3\\ &=&h\rho\pi\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{4}\\ &=&\left(a^2-b^2\right)h\pi\rho\cdotp\frac{1}{4}\left(a^2+b^2\right)\\ &=&\frac{1}{4}M\left(a^2+b^2\right) \end{eqnarray*}
中空円板の重心に関する回転対称性から、$I_y=I_x$です。

\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_{厚さ方向}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_b^a\mathrm{d}r r\rho r^2\\ &=&2h\pi\rho\int_b^a\mathrm{d}r r^3\\ &=&h\pi\rho\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{2}\\ &=&\left(a^2-b^2\right)h\pi\rho\cdotp\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\\ &=&\frac{1}{2}M\left(a^2+b^2\right) \end{eqnarray*}

「半径$a$の球」
質量は$\displaystyle\frac{4}{3}a^3\pi\rho$です。
3次元極座標を用います。
球の重心に対する回転対称性(3次元)より、$I_x=I_y=I_z$です。
$I_z$を求めるとき、$\displaystyle\ell^2=\sqrt{x^2+y^2}^2=r^2\sin^2\theta\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\sin^2\theta=r^2\sin^2\theta$です。
\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^2\sin\theta\rho r^2\sin^2\theta\\ &=&2\pi\rho\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin^3\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^4\\ &=&2\pi\rho\frac{4}{3}\frac{a^5}{5}\\ &=&\frac{8a^5\pi\rho}{15}\\ &=&\frac{4}{3}a^3\pi\rho\cdotp\frac{2}{5}a^2\\ &=&\frac{2}{5}Ma^2 \end{eqnarray*}

「半径$a$の薄い球殻」
球殻の厚さ(薄さ)を$h$とすると、質量は$M=4a^2h\pi\rho$です。
3次元極座標を用います。
球殻の重心に対する回転対称性(3次元)より、$I_x=I_y=I_z$です。
$I_z$を求めるとき、球のときと同様に$\displaystyle\ell^2=r^2\sin^2\theta$です。 \begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\int_{厚さ方向}\mathrm{d}r a^2\sin\theta\rho a^2\sin^2\theta\\ &=&2a^4\pi\rho\int_0^\pi\mathrm{d}\theta h\sin^3\theta\\ &=&2a^4h\pi\rho\frac{4}{3}\\ &=&4a^2h\pi\rho\cdotp\frac{2}{3}a^2\\ &=&\frac{2}{3}Ma^2 \end{eqnarray*}

「外半径$a$、内半径$b$の球殻」
質量は$\displaystyle M=\frac{4}{3}\left(a^3-b^3\right)\pi\rho$です。
3次元極座標を用います。
球殻の重心に対する回転対称性(3次元)より、$I_x=I_y=I_z$です。
$I_z$を求めるとき、球のときと同様に$\displaystyle\ell^2=r^2\sin^2\theta$です。 \begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\int_b^a\mathrm{d}r r^2\sin\theta\rho r^2\sin^2\theta\\ &=&2\pi\rho\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin^3\theta\int_b^a\mathrm{d}r r^4\\ &=&2\pi\rho\frac{4}{3}\frac{a^5-b^5}{5}\\ &=&\frac{4}{3}\left(a^3-b^3\right)\pi\rho\cdotp\frac{2}{5}\frac{a^5-b^5}{a^3-b^3}\\ &=&\frac{2}{5}M\frac{a^5-b^5}{a^3-b^3} \end{eqnarray*}

「辺の長さが$2a\times 2b\times 2c$の直方体」
質量は$M=8abc\rho$です。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{-a}^a\mathrm{d}x\int_{-b}^b\mathrm{d}y\int_{-c}^c\mathrm{d}z\rho\sqrt{y^2+z^2}^2\\ &=&2a\rho\int_{-b}^b\mathrm{d}y\int_{-c}^c\mathrm{d}z\left(y^2+z^2\right)\\ &=&2a\rho\int_{-b}^b\mathrm{d}y\left(2cy^2+\frac{1}{3}2c^3\right)\\ &=&2a\rho\left(2c\frac{1}{3}2b^3+\frac{1}{3}2c^32b\right)\\ &=&\frac{8abc\rho}{3}\left(b^2+c^2\right)\\ &=&\frac{1}{3}M\left(b^2+c^2\right) \end{eqnarray*}
$I_y$、$I_z$について、辺の長さを$r_1\in\left[0,1\right]$の$r_1\times a$などとパラメータと係数で表し、$\ell$を計算するときの係数を変更することで、回転軸を$y$軸、$z$軸にしたときの$I$が得られます。
もしくは、$\ell$にも着目して、式全体で$x,y,z$をサイクリックに置換して、$I_y,I_z$が得られます。


「半径$a$、高さ$h$の円柱」
質量は$M=a^2h\pi\rho$です。
円筒座標を用います。
円柱の$z$軸に対する回転対称性より、$I_x=I_y$です。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r\rho\sqrt{z^2+r^2\sin^2\theta}^2\\ &=&\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r \left(rz^2+r^3\sin^2\theta\right)\\ &=&\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left(\frac{a^2}{2}z^2+\frac{a^4}{4}\sin^2\theta\right)\\ &=&\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\left(\frac{a^2}{2}z^22\pi+\frac{a^4}{4}\pi\right)\\ &=&\rho\left(a^2\pi\frac{1}{3}2\left(\frac{h}{2}\right)^3+\frac{a^4\pi}{4}h\right)\\ &=&\rho\left(\frac{a^2h^3\pi}{12}+\frac{a^4h\pi}{4}\right)\\ &=&\frac{a^2h\pi\rho}{4}\left(\frac{h^2}{3}+a^2\right)\\ &=&\frac{1}{4}M\left(a^2+\frac{h^2}{3}\right) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r\rho r^2\\ &=&2h\pi\rho\int_0^a\mathrm{d}r r^3\\ &=&2h\pi\rho\frac{a^4}{4}\\ &=&a^2h\pi\rho\cdotp\frac{a^2}{2}\\ &=&\frac{1}{2}Ma^2 \end{eqnarray*}







「半径$a$、高さ$h$の薄い中空円柱」
薄い中空円柱とありますが、トイレットペーパーの芯みたいなやつです。
中空円柱の厚さ(薄さ)を$d$とすると、質量は$M=2adh\pi\rho$です。
円筒座標を用います。
中空円柱の$z$軸に対する回転対称性より、$I_x=I_y$です。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{厚さ方向}\mathrm{d}r a\rho\sqrt{\left(a\sin\theta\right)^2+z^2}^2\\ &=&ad\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left(a^2\sin^2\theta+z^2\right)\\ &=&ad\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\left(a^2\pi+2\pi z^2\right)\\ &=&ad\rho\left(a^2\pi h+2\pi\frac{1}{3}2\left(\frac{h}{2}\right)^3\right)\\ &=&2adh\pi\rho\cdotp\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{h^2}{6}\right)\\ &=&\frac{1}{2}M\left(a^2+\frac{h^2}{6}\right) \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{厚さ方向}\mathrm{d}r a\rho a^2\\ &=&a^3h\rho2\pi\cdotp d\\ &=&2a^3dh\pi\rho\\ &=&Ma^2 \end{eqnarray*}

「半径$a$の半球」
質量は$M=\displaystyle\frac{2}{3}a^3\pi\rho$です。
半球の$z$軸に対する回転対称性より、$I_x=I_y$です。
$I_x$を求めるため、重心の位置($z$軸上の底面の中心からの距離)を求めます。
重心の定義より、求める距離を$z_\mathrm{G}$として、3次元極座標を用いると、 \begin{eqnarray*} z_\mathrm{G}&=&\frac{\displaystyle\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^2\sin\theta\cdotp r\cos\theta}{\displaystyle\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^2\sin\theta}\\ &=&\frac{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\sin\theta\cos\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^3}{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\sin\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^2}\\ &=&\frac{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\frac{\sin2\theta}{2}\frac{a^4}{4}}{\displaystyle1\frac{a^3}{3}}\\ &=&\frac{3a}{4}\frac{1}{4}\left[-\cos2\theta\right]_0^{\pi/2}\\ &=&\frac{3a}{16}2\\ &=&\frac{3}{8}a \end{eqnarray*} となります。
$x-y$平面で2次元極座標を用います。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{-3a/8}^{5a/8}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^\sqrt{a^2-\left(z+3a/8\right)^2}\mathrm{d}r r\rho\sqrt{\left(r\sin\theta\right)^2+z^2}^2\\ &=&\rho\int_{-3a/8}^{5a/8}\mathrm{d}z\int_0^\sqrt{a^2-\left(z+3a/8\right)^2}\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left(r^3\sin^2\theta+rz^2\right)\\ &=&\rho\int_{-3a/8}^{5a/8}\mathrm{d}z\int_0^\sqrt{a^2-\left(z+3a/8\right)^2}\mathrm{d}r\left(r^3\pi+2\pi rz^2\right)\\ &=&\pi\rho\int_{-3a/8}^{5a/8}\mathrm{d}z\left(\frac{1}{4}\left\{a^2-\left(z+\frac{3a}{8}\right)^2\right\}^2+z^2\left\{a^2-\left(z+\frac{3a}{8}\right)^2\right\}\right)\\ &&a^2-\left(z+\frac{3a}{8}\right)^2=a^2-z^2-z\frac{3a}{4}-\frac{9a^2}{8^2}\\ &&\ \ \ =\frac{55a^2}{8^2}-z^2-\frac{3a}{4}z\\ &&\left\{a^2-\left(z+\frac{3a}{8}\right)^2\right\}^2=\left(\frac{55a^2}{8^2}-z^2-\frac{3a}{4}z\right)^2\\ &&\ \ \ =\frac{55^2a^4}{8^4}+z^4+\frac{9a^2}{16}z^2-2\frac{55a^2}{8^2}z^2+\frac{3a}{2}z^3-\frac{165a^3}{2\cdotp8^2}z\\ I_x&=&\pi\rho\int_{-3a/8}^{5a/8}\mathrm{d}z\left(\frac{1}{4}\left(\frac{55^2a^4}{8^4}+z^4+\frac{9a^2}{16}z^2-2\frac{55a^2}{8^2}z^2+\frac{3a}{2}z^3-\frac{165a^3}{2\cdotp8^2}z\right)+z^2\left(\frac{55a^2}{8^2}-z^2-\frac{3a}{4}z\right)\right)\\ &=&\pi\rho\int_{-3a/8}^{5a/8}\mathrm{d}z\left(-\frac{3}{4}z^4-\frac{3a}{8}z^3+\frac{73a^2}{2\cdotp8^2}z^2-\frac{165a^3}{8^3}z+\frac{55^2a^4}{4\cdotp8^4}\right)\\ &=&\pi\rho\left(-\frac{3}{4}\frac{1}{5}\left(\frac{5^5a^5}{8^5}+\frac{3^5a^5}{8^5}\right) -\frac{3a}{8}\frac{1}{4}\left(\frac{5^4a^4}{8^4}-\frac{3^4a^4}{8^4}\right) +\frac{73a^2}{2\cdotp8^2}\frac{1}{3}\left(\frac{5^3a^3}{8^3}+\frac{3^3a^3}{8^3}\right) -\frac{165a^3}{8^3}\frac{1}{2}\left(\frac{5^2a^2}{8^2}-\frac{3^2a^2}{8^2}\right) +\frac{55^2a^4}{4\cdotp8^4}\left(\frac{5a}{8}+\frac{3a}{8}\right)\right)\\ &=&\pi\rho\left(-\frac{3a^5}{20\cdotp8^5}\left(5^5+3^5\right)-\frac{3a^5}{4\cdotp8^5}\left(5^4-3^4\right)+\frac{73a^5}{6\cdotp8^5}\left(5^3+3^3\right)-\frac{165a^5}{2\cdotp8^5}\left(5^2-3^2\right)+\frac{55^2a^5}{4\cdotp8^5}8\right)\\ &=&\frac{a^5\pi\rho}{8^5}\left(-\frac{3}{20}3368-\frac{3}{4}544+\frac{73}{6}152-\frac{165}{2}16+\frac{55^2}{4}8\right)\\ &=&\frac{a^5\pi\rho}{8^5}\frac{84992}{15}\\ &=&\frac{2a^3\pi\rho}{3}\frac{83}{5\cdotp8^2}a^2\\ &=&\frac{83}{320}Ma^2\\ \end{eqnarray*}
$I_z$を求めるとき、球のときと同様に$\displaystyle\ell^2=r^2\sin^2\theta$です。 \begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^2\sin\theta\rho r^2\sin^2\theta\\ &=&2\pi\rho\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\sin^3\theta\int_0^a\mathrm{d}r r^4\\ &=&2\pi\rho\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\frac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4}\frac{a^5}{5}\\ &=&\frac{2a^5\pi\rho}{5}\frac{1}{4}\left[-3\cos\theta+\frac{1}{3}\cos3\theta\right]_0^{\pi/2}\\ &=&\frac{a^5\pi\rho}{10}\left(3-\frac{1}{3}\right)\\ &=&\frac{a^5\pi\rho}{10}\frac{8}{3}\\ &=&\frac{4a^5\pi\rho}{15}\\ &=&\frac{2}{3}a^3\pi\rho\cdotp\frac{2a^2}{5}\\ &=&\frac{2}{5}Ma^2 \end{eqnarray*}



「両軸が$2a$、$2b$の楕円形薄板」
薄板の厚さ(薄さ)を$h$とすると、質量は$M=abh\pi\rho$です。
$x-y$平面に2次元極座標を用います。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}rabr\rho\left(br\sin\theta\right)^2\\ &=&ab^3h\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\sin^2\theta\int_0^1\mathrm{d}rr^3\\ &=&ab^3h\rho\pi\frac{1}{4}\\ &=&\frac{abh\pi\rho}{4}b^2\\ &=&\frac{1}{4}Mb^2 \end{eqnarray*}
$x$軸と$y$軸について、原点からの距離のパラメータ$r$の係数を$\ell$についても換えることで、同様に結果が得られます。

$I_z$を求めるための回転軸からの距離は、$\ell^2=\sqrt{x^2+y^2}^2=\left(ar\cos\theta\right)^2+\left(br\sin\theta\right)^2=\left(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta\right)r^2$です。 \begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}rabr\rho\left(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta\right)r^2\\ &=&ab\rho h\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta\right)\int_0^1\mathrm{d}rr^3\\ &=&abh\rho\pi\left(a^2+b^2\right)\frac{1}{4}\\ &=&\frac{abh\pi\rho}{4}\left(a^2+b^2\right)\\ &=&\frac{1}{4}M\left(a^2+b^2\right) \end{eqnarray*}

「両軸が$2a$、$2b$の楕円を底面とする高さ$h$の楕円柱」
質量は$M=abh\pi\rho$です。
$x-y$平面に2次元極座標を用います。
$I_x$を求めるための回転軸からの距離は、$\ell^2=\sqrt{y^2+z^2}^2=\left(br\sin\theta\right)^2+z^2=b^2r^2\sin^2\theta+z^2$です。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}rabr\rho\left(b^2r^2\sin^2\theta+z^2\right)\\ &=&ab\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}r\left(b^2r^3\sin^2\theta+rz^2\right)\\ &=&ab\rho\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\left(\frac{b^2}{4}\pi+\pi z^2\right)\\ &=&\frac{ab\pi\rho}{4}\int_{-h/2}^{h/2}\mathrm{d}z\left(b^2+4z^2\right)\\ &=&\frac{ab\pi\rho}{4}\left(b^2h+\frac{4}{3}2\frac{h^3}{8}\right)\\ &=&\frac{abh\pi\rho}{4}\left(b^2+\frac{h^2}{3}\right)\\ &=&\frac{1}{4}M\left(b^2+\frac{h^2}{3}\right) \end{eqnarray*}
$x$軸と$y$軸について、原点からの距離のパラメータ$r$の係数を$\ell$についても換えることで、同様に結果が得られます。

$I_z$の計算は「両軸が$2a$、$2b$の楕円形薄板」の$I_z$と全く同じになるので、省略します。


「三軸が$2a$、$2b$、$2c$の楕円体」
質量は$M=\displaystyle\frac{4}{3}abc\pi\rho$です。
3次元極座標を用います。
$I_x$を求めるための回転軸からの距離は、$\ell^2=\sqrt{y^2+z^2}^2=\left(br\sin\theta\sin\phi\right)^2+\left(cr\cos\theta\right)^2=r^2\left(b^2\sin^2\theta\sin^2\phi+c^2\cos^2\theta\right)$です。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}rabcr^2\sin\theta\rho r^2\left(b^2\sin^2\theta\sin^2\phi+c^2\cos^2\theta\right)\\ &=&abc\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\left(b^2\sin^3\theta\sin^2\phi+c^2\sin\theta\cos^2\theta\right)\int_0^1\mathrm{d}r r^4\\ &=&abc\pi\rho\left(b^2\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin^3\theta+2c^2\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\left(\sin\theta-\sin^3\theta\right)\right)\frac{1}{5}\\ &=&\frac{abc\pi\rho}{5}\left(\left(b^2-2c^2\right)\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin^3\theta+2c^2\int_0^\pi\mathrm{d}\theta\sin\theta\right)\\ &=&\frac{abc\pi\rho}{5}\left(\left(b^2-2c^2\right)\frac{4}{3}+4c^2\right)\\ &=&\frac{abc\pi\rho}{5}\left(\frac{4}{3}b^2-\frac{8}{3}c^2+4c^2\right)\\ &=&\frac{abc\pi\rho}{5}\left(\frac{4}{3}b^2+\frac{4}{3}c^2\right)\\ &=&\frac{1}{5}\frac{4}{3}abc\pi\rho\left(b^2+c^2\right)\\ &=&\frac{1}{5}M\left(b^2+c^2\right) \end{eqnarray*}
$I_y$と$I_z$も原点からの距離のパラメータ$r$の係数を$\ell$についても換えるだけで、同様に結果が得られます。


「半径$a$の円を底面とする高さ$h$の円錐」
質量は$M=\displaystyle\frac{1}{3}a^2h\pi\rho$です。
$x-y$平面に2次元極座標を用います。 \begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{a-az/h}\mathrm{d}rr\rho r^2\\ &=&2\pi\rho\int_0^h\mathrm{d}z\int_0^{a-az/h}\mathrm{d}rr^3\\ &=&2\pi\rho\int_0^h\mathrm{d}z\frac{1}{4}\left(a-a\frac{z}{h}\right)^4\\ &=&\frac{a^4\pi\rho}{2}\int_0^h\mathrm{d}z\left(1-\frac{z}{h}\right)^4\\ &=&\frac{a^4\pi\rho}{2}\int_0^h\mathrm{d}z\left(1-4\frac{z}{h}+6\frac{z^2}{h^2}-4\frac{z^3}{h^3}+\frac{z^4}{h^4}\right)\\ &=&\frac{a^4\pi\rho}{2}\left(h-2h+2h-h+\frac{h}{5}\right)\\ &=&\frac{a^4h\pi\rho}{2}\frac{1}{5}\\ &=&\frac{a^2h\pi\rho}{3}\frac{3}{10}a^2\\ &=&\frac{3}{10}Ma^2 \end{eqnarray*}

「中心半径$a$、 管半径$c$のトーラス」
物理のかぎしっぽさんの$a$と$c$は逆です。
計算すると実際そうなることと、他のサイトでもそうであることで示されます。
質量は$M=2ac^2\pi^2\rho$です。
3次元直交座標からトーラスの内部を表す座標への座標変換のヤコビアン(Jacobian、関数行列式)を求めます(トーラスはここでしか現れないので、公式の項目でなく、ここに書きます)。 \begin{eqnarray*} &&\begin{cases} x=a\cos t+r\cos p\cos t&\\ y=a\sin t+r\cos p\sin t&\\ z=r\sin p& \end{cases}\\ J&=&\frac{\partial\left(x,y,z\right)}{\partial\left(r,p,t\right)}\\ &=&\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial p} & \frac{\partial y}{\partial p} & \frac{\partial z}{\partial p}\\ \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial t}\\ \end{vmatrix}\\ &=&\begin{vmatrix} \cos p\cos t & \cos p\sin t & \sin p\\ -r\sin p\cos t & -r\sin p\sin t & r\cos p\\ -a\sin t-r\cos p\sin t & a\cos t+r\cos p\cos t & 0 \end{vmatrix}\\ &=&\left|-ar\sin^2p\cos^2t-r^2\sin^2p\cos p\cos^2t-ar\cos^2p\sin^2t-r^2\cos^3p\sin^2t\right.\\ &&\ \left.-ar\cos^2p\cos^2t-r^2\cos^3p\cos^2t-ar\sin^2p\sin^2t-r^2\sin^2p\cos p\sin^2t\right|\\ &=&\left|-ar-r^2\cos p\right|\\ &=&ar+r^2\cos p \end{eqnarray*}
$I_x$を求めるための回転軸からの距離を求めます。 \begin{eqnarray*} \ell^2&=&\sqrt{y^2+z^2}^2\\ &=&\left(a\sin t+r\cos p\sin t\right)^2+\left(r\sin p\right)^2\\ &=&a^2\sin^2t+2ar\cos p\sin^2t+r^2\cos^2p\sin^2t+r^2\sin^2p\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I_x&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\int_0^c\mathrm{d}r\left(ar+r^2\cos p\right)\rho\left(a^2\sin^2t+2ar\cos p\sin^2t+r^2\cos^2p\sin^2t+r^2\sin^2p\right)\\ &=&\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\int_0^c\mathrm{d}r\left(a^3r\sin^2t+2a^2r^2\cos p\sin^2t+ar^3\cos^2p\sin^2t+ar^3\sin^2p\right.\\ &&\hspace{4cm}\left.+a^2r^2\cos p\sin^2t+2ar^3\cos^2p\sin^2t+r^4\cos^3p\sin^2t+r^4\sin^2p\cos p\right) \end{eqnarray*} ここで、$t$も$p$も$0$〜$2\pi$で積分するので、$\sin$や$\cos$の奇数乗の積分は$0$となります。 \begin{eqnarray*} I_x&=&\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\int_0^c\mathrm{d}r\left(a^3r\sin^2t+3ar^3\cos^2p\sin^2t+ar^3\sin^2p\right)\\ &=&\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\left(\frac{a^3c^2}{2}\sin^2t+\frac{3ac^4}{4}\cos^2p\sin^2t+\frac{ac^4}{4}\sin^2p\right)\\ &=&\frac{a^3c^2}{2}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t2\pi\sin^2t +\frac{3ac^4}{4}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t\sin^2t\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\cos^2p +\frac{ac^4}{4}\rho2\pi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\sin^2p\\ &=&a^3c^2\pi\rho\pi +\frac{3ac^4}{4}\rho\pi\pi +\frac{ac^4\pi}{2}\rho\pi\\ &=&ac^2\pi^2\rho\left(a^2+\frac{5c^2}{4}\right)\\ &=&2ac^2\pi^2\rho\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5c^2}{8}\right)\\ &=&M\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5c^2}{8}\right) \end{eqnarray*}
トーラスの$z$軸に関する回転対称性により、トーラスを$90$度回転しても元のトーラスと一致し、例えば$y$軸上にあった点は$x$軸上に移動するなど、$x$軸を回転軸として積分したときと同じ状態になり、$I_y=I_x$です。

$I_z$を求めるための回転軸からの距離を求めます。 \begin{eqnarray*} \ell^2&=&\sqrt{x^2+y^2}^2\\ &=&\left(a\cos t+r\cos p\cos t\right)^2+\left(a\sin t+r\cos p\sin t\right)^2\\ &=&a^2\cos^2t+2ar\cos p\cos^2t+r^2\cos^2p\cos^2t+a^2\sin^2t+2ar\cos p\sin^2t+r^2\cos^2p\sin^2t\\ &=&a^2+2ar\cos p+r^2\cos^2p\\ &=&\left(a+r\cos p\right)^2 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I_z&=&\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\int_0^c\mathrm{d}rr\left(a+r\cos p\right)\rho\left(a+r\cos p\right)^2\\ &=&2\pi\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\int_0^c\mathrm{d}rr\left(a+r\cos p\right)^3\\ &=&2\pi\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\int_0^c\mathrm{d}r\left(a^3r+3a^2r^2\cos p+3ar^3\cos^2p+r^4\cos^3p\right)\\ &=&2\pi\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}p\left(\frac{a^3c^2}{2}+a^2c^3\cos p+\frac{3ac^4}{4}\cos^2p+\frac{c^5}{5}\cos^3p\right)\\ &=&2\pi\rho\left(a^3c^2\pi+\frac{3ac^4}{4}\pi\right)\\ &=&2ac^2\pi^2\rho\left(a^2+\frac{3c^2}{4}\right)\\ &=&M\left(a^2+\frac{3c^2}{4}\right) \end{eqnarray*}
2つの質点
質量$M$、$m$の2つの質点の重心まわりの慣性モーメントです。質点間の距離は$\ell$とします。
重心の位置(質点$m$からの距離)を求めると、\[x_G=\frac{\displaystyle\int_0^\ell dxx\rho\left(x\right)}{\displaystyle\int_0^\ell dx\rho\left(x\right)}=\frac{m0+M\ell}{M+m}=\frac{M}{M+m}\ell\]です。質点$M$からの距離は$\ell$から引いて、$\displaystyle\frac{m}{M+m}\ell$です。
質点を結ぶ線分上に$x$軸をとり(積分では距離の2乗をとるため、$x$軸の向きはどちらでもよいが、$M$の方を正として計算する。しかも和をとるだけであり、積分でもなくなる)、$y$、$z$方向には$\pm$微小量だけ積分すると、\begin{eqnarray*}I&=&\int_{-\frac{m}{M+m}\ell}^{\frac{M}{M+m}\ell}dx\int_{-\varepsilon}^\varepsilon dy\int_{-\varepsilon}^\varepsilon dz\rho\left(x,y,z\right)x^2\\&=&\left(\frac{mx}{M+m}\right)^2M+\left(\frac{Mx}{M+m}\right)^2m\\&=&Mm\frac{M+m}{\left(M+m\right)^2}\ell^2\\&=&\frac{Mm}{M+m}\ell^2\\&=&\mu\ell^2\hspace{2cm}\mu:換算質量\end{eqnarray*}以上で終了であるが、積分でも計算する。質点であるため、質量密度$\rho\left(x,y,z\right)$はデルタ関数$\delta\left(x,y,z\right)$を用いて、原点を質点$m$にとると\[\rho\left(x,y,z\right)=\begin{cases}M\delta\left(x-\ell,y,z\right) & \boldsymbol{x}=\left(\ell,0,0\right)\\ m\delta\left(x-\ell,y,z\right) & \boldsymbol{x}=\left(0,0,0\right)\\ 0 & \mathrm{O.W.}\end{cases}\]となる。
全質量の計算は、\[\int_0^\ell dx\int_0^0dy\int_0^0dz\rho\left(x,y,z\right)=M+m\]質量密度が2点だけゼロでないことから結局、和をとる形となる。
慣性モーメントの積分では、\begin{eqnarray*}I&=&\int_{-\frac{m}{M+m}\ell}^{\frac{M}{M+m}\ell}dx\int_{-\varepsilon}^\varepsilon dy\int_{-\varepsilon}^\varepsilon dz\rho\left(x,y,z\right)x^2\\&=&\left(\frac{mx}{M+m}\right)^2M+\left(\frac{Mx}{M+m}\right)^2m\\&=&Mm\frac{M+m}{\left(M+m\right)^2}\ell^2\\&=&\frac{Mm}{M+m}\ell^2\\&=&\mu\ell^2\hspace{2cm}\mu:換算質量\end{eqnarray*}より、同様である。




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