2017年09月22日

$d$次元ユークリッド空間における回転

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回転(rotation)

$d$次元ユークリッド空間(d-dimensional Euclidian space)における回転: \[ 長さ^2=\sum_{i=1}^d\left(x^i\right)^2,\hspace{1cm}x^i,\hspace{1cm}i\in\left\{1,\cdots,d\right\} \] を不変にする変換。
$\left(i,j\right)$面での回転(回転角:$\theta_{ij}$)
\[ \left(\begin{array}{c}x^{\prime i}\\x^{\prime j}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} \cos\theta_{ij}&-\sin\theta_{ij}\\\sin\theta_{ij}&\cos\theta_{ij}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x^i\\x^j\end{array}\right) \] 無限小回転($\theta_{ij}\ll1$) \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}x^{\prime i}\\x^{\prime j}\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{cc} 1&-\theta_{ij}\\\theta_{ij}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x^i\\x^j\end{array}\right) \\ &=&\left(\begin{array}{c}x^i\\x^j\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0&-\theta_{ij}\\\theta_{ij}&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x^i\\x^j\end{array}\right)\\ &=&\left(\begin{array}{c}x^i\\x^j\end{array}\right)+\theta_{ij}\left(\begin{array}{c}-x^j\\x^i\end{array}\right) \end{eqnarray*}


タグ:数学 物理学

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